数学分析

增长趋势

$n\to+\infty,\forall p,q>0,a>1,{(\ln n)}^q\ll n^p\ll a^n\ll n!\ll n^n$

积分表

反读可得导数表，此处略。 $\int k\,\mathrm{d}x=kx+C$ $\int x^a\,dx=\frac{x^{a+1} }{a+1}+C$ $\int\frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C$ $\int e^x\,dx=e^x + C$ $\int a^x\,dx=\frac{a^x}{\ln a}+C$ $\int\cos x\,dx=\sin x+C$ $\int\sin x\,dx=-\cos x+C$ $\int\frac{1}{cos^2x}\,dx=\int\sec^2 x\,dx=\tan x+C$ $\int\frac{1}{sin^2x}\,dx=\int\csc^2 x\,dx=-\cot x+C$ $\int\frac{1}{\sqrt{1-x^2} }\,dx=\arcsin x+C=-\arccos x + C$ $\int\frac{1}{1+x^2}\,dx=\arctan x+C=-arccot\,x+C$ $\int\sec x\tan x\,dx=\sec x+C$ $\int\csc x\cot x\,dx=-\csc x+C$ $\int\tan x\,dx=-\ln|\cos x|+C$ $\int\cot x\,dx=\ln|\sin x|+C$ $\int\sec x\,dx=\ln|\sec x+\tan x|+C$ $\int\csc x\,dx=\ln|\csc x-\cot x|+C$ $\int sh\,x\,dx=ch\,x+C$ $\int ch\,x\,dx=sh\,x+C$ $\int\frac{1}{x^2+a^2}\,dx=\frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}+C$ $\int\frac{1}{x^2-a^2}\,dx=\frac{1}{2a}\ln|\frac{x-a}{x+a}| + C$ $\int\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2} }\,dx=\arcsin\frac{x}{a}+C$ $\int\frac{1}{\sqrt{x^2-a^2} }\,dx=\ln|x+\sqrt{x^2-a^2}|+C$ $\int\frac{1}{\sqrt{x^2+a^2} }\,dx=\ln|x+\sqrt{x^2+a^2}|+C$

积分求几何量

面积

若简单闭曲线$\begin{cases}x=x(t),\y=y(t),\end{cases}t\in[\alpha,\beta]$端点处连续（$x(\alpha)=x(\beta),y(\alpha)=y(\beta)$）且其他地方不自交，$x(t),y(t)$都逐段有连续微商，则此闭合曲线围起来的有界区域面积$S=-\int_\alpha^\beta x’(t)y(t)\,dt=-\int_\alpha^\beta y(t)\,dx(t)=-\oint_\Gamma y\,dx=\oint_\Gamma x\,dy$等式右边称为曲线$\Gamma$上的积分，其计算方法是带入参数方程到定积分计算式中，积分上下限为始点与终点对应的参数值。下限并不总是小于上限，参数从下限到上限变化时对应曲线的正向（沿正向观察时，曲线所围的区域永远在左侧）。极坐标下，连续非负曲线$r=r(\theta)$与向径$\theta=\alpha,\theta=\beta$，其中$0\leq\beta-\alpha\leq2\pi$所围成的平面图形面积$S=\frac{1}{2}\int_\alpha^\beta r^2(\theta)\,d\theta$

体积

记立体过x点且垂直于x轴的截面面积为$S(x)$，则其体积$V=\int_a^bS(x)\,dx$连续曲线$y=f(x)\ge 0,x\in[a,b]$绕x轴旋转一周产生的旋转体体积$V=\pi\int_a^by^2\,dx$

弧长

若简单闭曲线$\begin{cases}x=x(t),\y=y(t),\end{cases}t\in[\alpha,\beta]$端点处重合（$x(\alpha)=x(\beta),y(\alpha)=y(\beta)$）且其他地方不自交，$x(t),y(t)$连续且满足$[x’(t)]^2+[y’(t)]^2\ne0,\forall t\in[\alpha,\beta]$此时称曲线光滑，其长度$s=\int_\alpha^\beta\sqrt{[x’(t)]^2+[y’(t)]^2}\,dt$此式可对称推广到高维空间曲线。极坐标下，$r=r(\theta),\theta\in[\alpha,\beta]$的长度为$s=\int_\alpha^\beta\sqrt{[r(\theta)]^2+[r’(\theta)]^2}\,d\theta$

曲率

若曲线由参数方程$\begin{cases}x=x(t),\y=y(t),\end{cases}t\in[\alpha,\beta]$给出且有二阶微商，则其在一点的曲率$K=\frac{|y’‘x’-y’x’’|}{[x’^2+y’^2]^{\frac{3}{2} } }$若$y=f(x)$，则$K=\frac{|y’’|}{(1+y’^2)^\frac{3}{2} }$同时记$\frac{1}{K}$为曲率半径。

旋转体侧面积

若曲线由参数方程$\begin{cases}x=x(t),\y=y(t),\end{cases}t\in[\alpha,\beta]$给出，则其绕x轴旋转体的侧面积$s=2\pi\int_\alpha^\beta y(t)\sqrt{[x’(t)]^2+[y’(t)]^2}\,dt$

空间曲线的切线与法平面

若已知曲线上一点$P(x_0,y_0,z_0)$处的切向量为$\tau(x_0,y_0,z_0)=(A,B,C)$则曲线在该点的切线方程为$\frac{x-x_0}A=\frac{y-y_0}B=\frac{z-z_0}C$法平面方程为$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$当曲线由参数方程$\begin{cases}x=x(t),\y=y(t),\z=z(t),\end{cases}t\in[\alpha,\beta]$给出时，曲线在P点的切向量为$\tau=\pm(x’(t_0),y’(t_0),z’(t_0))$更一般地，若曲线用两曲面的交线给出$\begin{cases}F(x,y,z)=0,\G(x,y,z)=0,\end{cases}$且在P点的某邻域能确定函数组$y=y(x),z=z(x)$满足$y_0=y(x_0),z_0=z(x_0)$，且$y’(x),z’(x)$存在，则曲线在P点的切向量$\tau=\pm(\frac{\partial(F,G)}{\partial(y,z)},\frac{\partial(F,G)}{\partial(z,x)},\frac{\partial(F,G)}{\partial(x,y)})$

空间曲面的切平面与法线

若已知曲面上一点$P(x_0,y_0,z_0)$处的切平面的法向量为$\vec n=(A’,B’,C’)$则曲线在该点的法线方程为$\frac{x-x_0}{A’}=\frac{y-y_0}{B’}=\frac{z-z_0}{C’}$切平面方程为$A’(x-x_0)+B’(y-y_0)+C’(z-z_0)=0$当曲面方程为$\pi:F(x,y,z)=0$在曲面上任取一条过P的曲线，设其方程为$\begin{cases}x=x(t),\y=y(t),\z=z(t),\end{cases}t\in[\alpha,\beta]$此时有$F(x(t),y(t),z(t))=0$令$t=t_0$两边对t求导，并写成向量的内积式，得$(F_x,F_y,F_z)_P\cdot(x’(t_0),y’(t_0),z’(t_0))=0$则曲线在P点的法向量为$\vec{n}=\pm(F_x,F_y,F_z)_P$若曲线由参数方程给出$\begin{cases}x=x(u,v),\y=y(u,v),\z=z(u,v),\end{cases}$ 则曲线在P点的法向量$\vec{n}=\pm(\frac{\partial(y,z)}{\partial(u,v)},\frac{\partial(z,x)}{\partial(u,v)},\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)})$

方向导数

设三元函数$u=f(x,y,z)$在点$P_0(x_0,y_0,z_0)$的某邻域内有定义，任意给定始于点$P_0$的射线$l$，$P(x,y,z)$为l上且含于定义域内的点。若极限$\lim_{r(p,p_0)\to0^+}\frac{f(P)-f(P_0)}{r(P,P_0)}=\lim_{r(p,p_0)\to0^+}\frac{\Delta_lf(P_0)}{r(P,P_0)}$存在，则称该极限值为函数$f$在点$P_0$沿方向$l$的方向导数，记为$\frac{\partial f}{\partial l}|{P_0}$或$\frac{\partial f(P_0)}{\partial l}$，$\frac{\Delta_lf(P_0)}{r(P,P_0)}$称为函数在$P_0$点沿$l$方向的增量。特别地，$\frac{\partial f(P_0)}{\partial x}$就是函数在$P_0$点沿$x$轴正向的方向导数，$y,z$轴上的方向导数同理。若函数在$P_0$点可微，则其在$P_0$沿任何方向$l$的方向导数都存在，则有以下公式$\frac{\partial f(P_0)}{\partial l}=(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z})|{P_0}\cdot\vec{l_0}$其中$\vec{l_0}=(\cos\alpha,\cos\beta,cos\gamma)=\frac{1}{\rho}(\Delta x,\Delta y,\Delta z)$为$l$的方向余弦。

泰勒公式

用$f^{(n)}(x)$表示f(x)的n阶导数。只要让余项<EPS即可计算指定函数到任意精确度。特别取a=0时称为麦克劳林公式。 $f(x)=f(a)+f^{(1)}(a)(x-a)+\frac{f^{(2)}(a)}{2!}(x-a)^2+\ldots+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n+R_n(x)$ $R_n(x)=o((x-a)^n)$，佩亚诺余项 $R_n(x)=\frac{1}{n!}\int_a^x(x-t)^nf^{(n+1)}(t)\,dt$，积分余项 $R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1},a<\xi<x$，拉格朗日余项 $R_n(x)=\frac{(x-a)^{n+1} }{n!}(1-\theta)^nf^{(n+1)}(a+\theta(x-a)),0<\theta<1$，柯西余项

指数函数

$(e^x)^{(n)}=e^x$ $e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\ldots+\frac{x^n}{n!}+R_n(x)$ $R_n(x)=\frac{e^{\theta x} }{(n+1)!}x^{n+1},\xi=\theta x,0<\theta<1$

三角函数

$(\sin x)^{(n)}=\sin(x+\frac{n\pi}{2})$ $\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\ldots+(-1)^{k-1}\frac{x^{2k-1} }{(2k-1)!}+R_{2k}(x)$ $R_{2k}(x)=(-1)^k\frac{\cos\theta x}{(2k+1)!}x^{2k+1}$ $(\cos x)^{(n)}=\cos(x+\frac{n\pi}{2})$ $\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\ldots+(-1)^{k-1}\frac{x^{2k-2} }{(2k-2)!}+R_{2k-1}(x)$ $R_{2k-1}(x)=(-1)^k\frac{\cos\theta x}{(2k)!}x^{2k}$

对数函数

$[\ln(1+x)]^{(n)}=(-1)^{n-1}(n-1)!(1+x)^{-n}$ $\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\ldots+(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}+R_n(x)$

幂函数

$[(1+x)^a]^{(n)}=a(a-1)\ldots(a-n+1)(1+x)^{a-n}$ $(1+x)^a=1+ax+\frac{a(a-1)}{2!}x^2+\dots+\frac{a(a-1)\ldots(a-n+1)}{n!}x^n+R_n(x)$

二元函数

设$f(x,y)$在$P_0(x_0,y_0)$的某邻域$O(P_0)$内有直到$n+1$阶连续偏导数，则对$O(P_0)$内$\forall(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y),\exists\theta\in(0,1)$，使得$f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)=\sum_{k=0}^n\frac{1}{k!}(\frac{\partial}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial}{\partial y}\Delta y)^kf(x_0,y_0)+R_n$其中$R_n=\frac{1}{(n+1)!}(\frac{\partial}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial}{\partial y}\Delta y)^{n+1}f(x_0+\theta\Delta x,y_0+\theta\Delta y)$

级数部分和

调和级数

$n\to\infty,\sum_{i=1}^n\frac 1 i\to\ln n+r,r\approx0.5772156649015328\ldots$

幂级数

快速计算幂级数的部分和$\sum_{i=1}^ni^k\mod M$可借助伯努利数，详见模板·组合数学。 $\sum_{i=1}^ni^1=\frac 1 2n(n+1)$ $\sum_{i=1}^ni^2=\frac 1 6n(n+1)(2n+1)$ $\sum_{i=1}^ni^3=\frac 1 4[n(n+1)]^2$ $\sum_{i=1}^ni^4=\frac 1{30}n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)$ $\sum_{i=1}^ni^5=\frac 1{12}[n(n+1)]^2(2n^2+2n-1)$ $\sum_{i=1}^ni^6=\frac 1{42}n(n+1)(2n+1)(3n^4+6n^3-3n+1)$

二分求零点、三分求极值点

需要$f(x)$在区间$[l,r]$上单调/凹凸性唯一。

double bs(double l,double r,double f(double x))
{
 if(r-l<EPS)return l;
 double m=(l+r)/2;
 return sgn(f(l)*f(m))<0?bs(l,m,f):ts(m,r,f);
}
double ts(double l,double r,double f(double x))
{
 if(r-l<EPS)return l;
 double d=(r-l)/3,lm=l+d,rm=r-d;
 return f(lm)<f(rm)?ts(l,rm,f):ts(lm,r,f);//极小值
}

自适应辛普森求函数积分

struct Simpson
{
	lf simpson(lf a,lf b,lf f(lf x))
	{
		return (f(a)+4*f((a+b)/2)+f(b))*(b-a)/6;
	}
	lf ask(lf a,lf b,lf f(lf x),lf e=EPS)
	{
		lf c=(a+b)/2,L=simpson(a,c,f),R=simpson(c,b,f),A=simpson(a,b,f);
		return fabs(L+R-A)<EPS*15?L+R+(L+R-A)/15:ask(a,c,f,e/2)+ask(c,b,f,e/2);
	}
};

插值法

拉格朗日插值法：插值多项式和插值基函数的形式对称，容易编程。但是，增加节点时，需要重新计算每一个插值基函数。要在$\pmod p$意义下进行的话，那么p只能是质数。牛顿插值法：当插值节点增加时，之前已计算的结果仍然能用，每增加一个节点，只要再增加一项即可，从而避免了重复性计算。如果要mod非质数的话，那么就要用牛顿插值法。

typedef complex<double> Coord;
#define X real()
#define Y imag()
double lagrange(const vector<Coord> &p,double x)//返回p确定的多项式函数在x处的值
{
	double ret=0;
	for(int i=0; i<p.size(); ++i)
	{
		double tmp=p[i].Y;
		for(int j=0; j<p.size(); ++j)
			if(i!=j)tmp*=(x-p[j].X)/(p[i].X-p[j].X);
		ret+=tmp;
	}
	return ret;
}
vector<double> lagrange(vector<Coord> p)//返回p确定的多项式系数向量
{
	vector<double> ret(p.size()),sum(p.size());
	ret[0]=p[0].Y,sum[0]=1;
	for(int i=1; i<p.size(); ++i)
	{
		for(int j=p.size()-1; j>=i; --j)
			p[j].Y=(p[j].Y-p[j-1].Y)/(p[j].X-p[j-i].X);
		for(int j=i; ~j; --j)
			sum[j]=(j?sum[j-1]:0)-sum[j]*p[i-1].X,
			       ret[j]+=sum[j]*p[i].Y;
	}
	return ret;
}
double differenceQuotient(const vector<Coord> &p,int k)//计算差商
{
	double ret=0;
	for(int i=0; i<=k; ++i)
	{
		double tmp=p[i].Y;
		for(int j=0; j<=k; ++j)
			if(i!=j)tmp/=p[i].X-p[j].X;
		ret+=tmp;
	}
	return ret;
}
double newton(const vector<Coord> &p,double x)
{
	double ret=p[0].Y;
	for(int i=1; i<p.size(); ++i)
	{
		double tmp=differenceQuotient(p,i);//多次求，可O(n^3)预处理优化
		for(int j=0; j<i; ++j)tmp*=x-p[j].X;
		ret+=tmp;
	}
	return ret;
}

转载

以下转载自斯坦福大学2014（吴恩达）机器学习教程中文笔记，感谢编者黄海广博士。

导数定义

导数和微分的概念

$f’({ {x}{0} })=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim } }\,\frac{f({ {x}{0} }+\Delta x)-f({ {x}_{0} })}{\Delta x}$ （1）

或者：

$f’({ {x}{0} })=\underset{x\to { {x}{0} } }{\mathop{\lim } }\,\frac{f(x)-f({ {x}{0} })}{x-{ {x}{0} } }$ （2）

左右导数导数的几何意义和物理意义

函数$f(x)$在$x_0$处的左、右导数分别定义为：

左导数：${ { {f}’}{-} }({ {x}{0} })=\underset{\Delta x\to { {0}^{-} } }{\mathop{\lim } }\,\frac{f({ {x}{0} }+\Delta x)-f({ {x}{0} })}{\Delta x}=\underset{x\to x_{0}^{-} }{\mathop{\lim } }\,\frac{f(x)-f({ {x}{0} })}{x-{ {x}{0} } },(x={ {x}_{0} }+\Delta x)$

右导数：${ { {f}’}{+} }({ {x}{0} })=\underset{\Delta x\to { {0}^{+} } }{\mathop{\lim } }\,\frac{f({ {x}{0} }+\Delta x)-f({ {x}{0} })}{\Delta x}=\underset{x\to x_{0}^{+} }{\mathop{\lim } }\,\frac{f(x)-f({ {x}{0} })}{x-{ {x}{0} } }$

函数的可导性与连续性之间的关系

Th1

函数$f(x)$在$x_0$处可微$\Leftrightarrow f(x)$在$x_0$处可导

Th2

若函数在点$x_0$处可导，则$y=f(x)$在点$x_0$处连续，反之则不成立。即函数连续不一定可导。

Th3

${f}’({ {x}{0} })$存在$\Leftrightarrow { { {f}’}{-} }({ {x}{0} })={ { {f}’}{+} }({ {x}_{0} })$

平面曲线的切线和法线

切线方程 : $y-{ {y}{0} }=f’({ {x}{0} })(x-{ {x}{0} })$ 法线方程：$y-{ {y}{0} }=-\frac{1}{f’({ {x}{0} })}(x-{ {x}{0} }),f’({ {x}_{0} })\ne 0$

四则运算法则

设函数$u=u(x)，v=v(x)$]在点$x$可导则 (1) $(u\pm v{)}’={u}’\pm {v}’$ $d(u\pm v)=du\pm dv$ (2)$(uv{)}’=u{v}’+v{u}’$ $d(uv)=udv+vdu$ (3) $(\frac{u}{v}{)}’=\frac{v{u}’-u{v}’}{ { {v}^{2} } }(v\ne 0)$ $d(\frac{u}{v})=\frac{vdu-udv}{ { {v}^{2} } }$

基本导数与微分表

(1) $y=c$（常数） ${y}’=0$ $dy=0$ (2) $y={ {x}^{\alpha } }$($\alpha $为实数) ${y}’=\alpha { {x}^{\alpha -1} }$ $dy=\alpha { {x}^{\alpha -1} }dx$ (3) $y={ {a}^{x} }$ ${y}’={ {a}^{x} }\ln a$ $dy={ {a}^{x} }\ln adx$ 特例: $({ { {e} }^{x} }{)}’={ { {e} }^{x} }$ $d({ { {e} }^{x} })={ { {e} }^{x} }dx$

(4) ${y}’=\frac{1}{x\ln a}$

$dy=\frac{1}{x\ln a}dx$ 特例:$y=\ln x$ $(\ln x{)}’=\frac{1}{x}$ $d(\ln x)=\frac{1}{x}dx$

(5) $y=\sin x$

${y}’=\cos x$ $d(\sin x)=\cos xdx$

(6) $y=\cos x$

${y}’=-\sin x$ $d(\cos x)=-\sin xdx$

(7) $y=\tan x$

${y}’=\frac{1}{ { {\cos }^{2} }x}={ {\sec }^{2} }x$ $d(\tan x)={ {\sec }^{2} }xdx$ (8) $y=\cot x$ ${y}’=-\frac{1}{ { {\sin }^{2} }x}=-{ {\csc }^{2} }x$ $d(\cot x)=-{ {\csc }^{2} }xdx$ (9) $y=\sec x$ ${y}’=\sec x\tan x$

$d(\sec x)=\sec x\tan xdx$ (10) $y=\csc x$ ${y}’=-\csc x\cot x$

$d(\csc x)=-\csc x\cot xdx$ (11) $y=\arcsin x$

${y}’=\frac{1}{\sqrt{1-{ {x}^{2} } } }$

$d(\arcsin x)=\frac{1}{\sqrt{1-{ {x}^{2} } } }dx$ (12) $y=\arccos x$

${y}’=-\frac{1}{\sqrt{1-{ {x}^{2} } } }$ $d(\arccos x)=-\frac{1}{\sqrt{1-{ {x}^{2} } } }dx$

(13) $y=\arctan x$

${y}’=\frac{1}{1+{ {x}^{2} } }$ $d(\arctan x)=\frac{1}{1+{ {x}^{2} } }dx$

(14) $y=\operatorname{arc}\cot x$

${y}’=-\frac{1}{1+{ {x}^{2} } }$

$d(\operatorname{arc}\cot x)=-\frac{1}{1+{ {x}^{2} } }dx$ (15) $y=shx$

${y}’=chx$ $d(shx)=chxdx$

(16) $y=chx$

${y}’=shx$ $d(chx)=shxdx$

复合函数，反函数，隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法

(1) 反函数的运算法则: 设$y=f(x)$在点$x$的某邻域内单调连续，在点$x$处可导且${f}’(x)\ne 0$，则其反函数在点$x$所对应的$y$处可导，并且有$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy} }$ (2) 复合函数的运算法则:若$\mu =\varphi (x)$在点$x$可导,而$y=f(\mu )$在对应点$\mu $($\mu =\varphi (x)$)可导,则复合函数$y=f(\varphi (x))$在点$x$可导,且${y}’={f}’(\mu )\cdot {\varphi }’(x)$ (3) 隐函数导数$\frac{dy}{dx}$的求法一般有三种方法： 1)方程两边对$x$求导，要记住$y$是$x$的函数，则$y$的函数是$x$的复合函数.例如$\frac{1}{y}$，${ {y}^{2} }$，$ln y$，${ { {e} }^{y} }$等均是$x$的复合函数. 对$x$求导应按复合函数连锁法则做. 2)公式法.由$F(x,y)=0$知 $\frac{dy}{dx}=-\frac{ { { { {F}’} }{x} }(x,y)}{ { { { {F}’} }{y} }(x,y)}$,其中，${ { {F}’}{x} }(x,y)$， ${ { {F}’}{y} }(x,y)$分别表示$F(x,y)$对$x$和$y$的偏导数 3)利用微分形式不变性

常用高阶导数公式

（1）$({ {a}^{x} }){ {\,}^{(n)} }={ {a}^{x} }{ {\ln }^{n} }a\quad (a>{0})\quad \quad ({ { {e} }^{x} }){ {\,}^{(n)} }={e}{ {\,}^{x} }$ （2）$(\sin kx{)}{ {\,}^{(n)} }={ {k}^{n} }\sin (kx+n\cdot \frac{\pi }{ {2} })$ （3）$(\cos kx{)}{ {\,}^{(n)} }={ {k}^{n} }\cos (kx+n\cdot \frac{\pi }{ {2} })$ （4）$({ {x}^{m} }){ {\,}^{(n)} }=m(m-1)\cdots (m-n+1){ {x}^{m-n} }$ （5）$(\ln x){ {\,}^{(n)} }={ {(-{1})}^{(n-{1})} }\frac{(n-{1})!}{ { {x}^{n} } }$ （6）莱布尼兹公式：若$u(x)\,,v(x)$均$n$阶可导，则 ${ {(uv)}^{(n)} }=\sum\limits_{i={0} }^{n}{c_{n}^{i}{ {u}^{(i)} }{ {v}^{(n-i)} } }$，其中${ {u}^{({0})} }=u$，${ {v}^{({0})} }=v$

微分中值定理，泰勒公式

Th1(费马定理)

若函数$f(x)$满足条件： (1)函数$f(x)$在${ {x}{0} }$的某邻域内有定义，并且在此邻域内恒有 $f(x)\le f({ {x}{0} })$或$f(x)\ge f({ {x}_{0} })$,

(2) $f(x)$在${ {x}{0} }$处可导,则有 ${f}’({ {x}{0} })=0$

Th2(罗尔定理)

设函数$f(x)$满足条件： (1)在闭区间$[a,b]$上连续；

(2)在$(a,b)$内可导；

(3)$f(a)=f(b)$；

则在$(a,b)$内一存在个$\xi $，使 ${f}’(\xi )=0$

Th3(拉格朗日中值定理)

设函数$f(x)$满足条件： (1)在$[a,b]$上连续；

(2)在$(a,b)$内可导；

则在$(a,b)$内一存在个$\xi $，使 $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}={f}’(\xi )$

Th4(柯西中值定理)

设函数$f(x)$，$g(x)$满足条件： (1) 在$[a,b]$上连续；

(2) 在$(a,b)$内可导且${f}’(x)$，${g}’(x)$均存在，且${g}’(x)\ne 0$

则在$(a,b)$内存在一个$\xi $，使 $\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{ {f}’(\xi )}{ {g}’(\xi )}$

洛必达法则

法则Ⅰ ($\frac{0}{0}$型) 设函数$f\left( x \right),g\left( x \right)$满足条件： $\underset{x\to { {x}{0} } }{\mathop{\lim } }\,f\left( x \right)=0,\underset{x\to { {x}{0} } }{\mathop{\lim } }\,g\left( x \right)=0$;

$f\left( x \right),g\left( x \right)$在${ {x}{0} }$的邻域内可导，(在${ {x}{0} }$处可除外)且${g}’\left( x \right)\ne 0$;

$\underset{x\to { {x}_{0} } }{\mathop{\lim } }\,\frac{ {f}’\left( x \right)}{ {g}’\left( x \right)}$存在(或$\infty $)。

存在一个$X>0$,当$\left

x \right

>X$时,$f\left( x \right),g\left( x \right)$可导,且${g}’\left( x \right)\ne 0$;$\underset{x\to { {x}_{0} } }{\mathop{\lim } }\,\frac{ {f}’\left( x \right)}{ {g}’\left( x \right)}$存在(或$\infty $)。

则: $\underset{x\to { {x}{0} } }{\mathop{\lim } }\,\frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)}=\underset{x\to { {x}{0} } }{\mathop{\lim } }\,\frac{ {f}’\left( x \right)}{ {g}’\left( x \right)}$ 法则Ⅱ($\frac{\infty }{\infty }$型) 设函数$f\left( x \right),g\left( x \right)$满足条件： $\underset{x\to { {x}{0} } }{\mathop{\lim } }\,f\left( x \right)=\infty ,\underset{x\to { {x}{0} } }{\mathop{\lim } }\,g\left( x \right)=\infty $; $f\left( x \right),g\left( x \right)$在${ {x}{0} }$ 的邻域内可导(在${ {x}{0} }$处可除外)且${g}’\left( x \right)\ne 0$;$\underset{x\to { {x}{0} } }{\mathop{\lim } }\,\frac{ {f}’\left( x \right)}{ {g}’\left( x \right)}$存在(或$\infty $)。则 $\underset{x\to { {x}{0} } }{\mathop{\lim } }\,\frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)}=\underset{x\to { {x}_{0} } }{\mathop{\lim } }\,\frac{ {f}’\left( x \right)}{ {g}’\left( x \right)}.$同理法则${I{I}’}$($\frac{\infty }{\infty }$型)仿法则${ {I}’}$可写出。

泰勒公式

设函数$f(x)$在点${ {x}{0} }$处的某邻域内具有$n+1$阶导数，则对该邻域内异于${ {x}{0} }$的任意点$x$，在${ {x}{0} }$与$x$之间至少存在一个$\xi $，使得： $f(x)=f({ {x}{0} })+{f}’({ {x}{0} })(x-{ {x}{0} })+\frac{1}{2!}{f}’’({ {x}{0} }){ {(x-{ {x}{0} })}^{2} }+\cdots $ $+\frac{ { {f}^{(n)} }({ {x}{0} })}{n!}{ {(x-{ {x}{0} })}^{n} }+{ {R}{n} }(x)$ 其中 ${ {R}{n} }(x)=\frac{ { {f}^{(n+1)} }(\xi )}{(n+1)!}{ {(x-{ {x}{0} })}^{n+1} }$称为$f(x)$在点${ {x}{0} }$处的$n$阶泰勒余项。

令${ {x}{0} }=0$，则$n$阶泰勒公式 $f(x)=f(0)+{f}’(0)x+\frac{1}{2!}{f}’‘(0){ {x}^{2} }+\cdots +\frac{ { {f}^{(n)} }(0)}{n!}{ {x}^{n} }+{ {R}{n} }(x)$……(1) 其中 ${ {R}_{n} }(x)=\frac{ { {f}^{(n+1)} }(\xi )}{(n+1)!}{ {x}^{n+1} }$，$\xi $在0与$x$之间.(1)式称为麦克劳林公式

常用五种函数在${ {x}_{0} }=0$处的泰勒公式

(1) ${ { {e} }^{x} }=1+x+\frac{1}{2!}{ {x}^{2} }+\cdots +\frac{1}{n!}{ {x}^{n} }+\frac{ { {x}^{n+1} } }{(n+1)!}{ {e}^{\xi } }$

或 $=1+x+\frac{1}{2!}{ {x}^{2} }+\cdots +\frac{1}{n!}{ {x}^{n} }+o({ {x}^{n} })$

(2) $\sin x=x-\frac{1}{3!}{ {x}^{3} }+\cdots +\frac{ { {x}^{n} } }{n!}\sin \frac{n\pi }{2}+\frac{ { {x}^{n+1} } }{(n+1)!}\sin (\xi +\frac{n+1}{2}\pi )$

或 $=x-\frac{1}{3!}{ {x}^{3} }+\cdots +\frac{ { {x}^{n} } }{n!}\sin \frac{n\pi }{2}+o({ {x}^{n} })$

(3) $\cos x=1-\frac{1}{2!}{ {x}^{2} }+\cdots +\frac{ { {x}^{n} } }{n!}\cos \frac{n\pi }{2}+\frac{ { {x}^{n+1} } }{(n+1)!}\cos (\xi +\frac{n+1}{2}\pi )$

或 $=1-\frac{1}{2!}{ {x}^{2} }+\cdots +\frac{ { {x}^{n} } }{n!}\cos \frac{n\pi }{2}+o({ {x}^{n} })$

(4) $\ln (1+x)=x-\frac{1}{2}{ {x}^{2} }+\frac{1}{3}{ {x}^{3} }-\cdots +{ {(-1)}^{n-1} }\frac{ { {x}^{n} } }{n}+\frac{ { {(-1)}^{n} }{ {x}^{n+1} } }{(n+1){ {(1+\xi )}^{n+1} } }$

或 $=x-\frac{1}{2}{ {x}^{2} }+\frac{1}{3}{ {x}^{3} }-\cdots +{ {(-1)}^{n-1} }\frac{ { {x}^{n} } }{n}+o({ {x}^{n} })$

(5) ${ {(1+x)}^{m} }=1+mx+\frac{m(m-1)}{2!}{ {x}^{2} }+\cdots +\frac{m(m-1)\cdots (m-n+1)}{n!}{ {x}^{n} }$ $+\frac{m(m-1)\cdots (m-n+1)}{(n+1)!}{ {x}^{n+1} }{ {(1+\xi )}^{m-n-1} }$

或 ${ {(1+x)}^{m} }=1+mx+\frac{m(m-1)}{2!}{ {x}^{2} }+\cdots $ $+\frac{m(m-1)\cdots (m-n+1)}{n!}{ {x}^{n} }+o({ {x}^{n} })$

函数单调性的判断

Th1: 设函数$f(x)$在$(a,b)$区间内可导，如果对$\forall x\in (a,b)$，都有$f\,’(x)>0$（或$f\,’(x)<0$），则函数$f(x)$在$(a,b)$内是单调增加的（或单调减少）

Th2: （取极值的必要条件）设函数$f(x)$在${ {x}{0} }$处可导，且在${ {x}{0} }$处取极值，则$f\,’({ {x}_{0} })=0$。

Th3: （取极值的第一充分条件）设函数$f(x)$在${ {x}{0} }$的某一邻域内可微，且$f\,’({ {x}{0} })=0$（或$f(x)$在${ {x}{0} }$处连续，但$f\,’({ {x}{0} })$不存在。） (1)若当$x$经过${ {x}{0} }$时，$f\,’(x)$由“+”变“-”，则$f({ {x}{0} })$为极大值； (2)若当$x$经过${ {x}{0} }$时，$f\,’(x)$由“-”变“+”，则$f({ {x}{0} })$为极小值； (3)若$f\,’(x)$经过$x={ {x}{0} }$的两侧不变号，则$f({ {x}{0} })$不是极值。

Th4: (取极值的第二充分条件)设$f(x)$在点${ {x}{0} }$处有$f’‘(x)\ne 0$，且$f\,’({ {x}{0} })=0$，则当$f’\,’({ {x}{0} })<0$时，$f({ {x}{0} })$为极大值；当$f’\,’({ {x}{0} })>0$时，$f({ {x}{0} })$为极小值。注：如果$f’\,’({ {x}_{0} })<0$，此方法失效。

渐近线的求法

(1)水平渐近线若$\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim } }\,f(x)=b$，或$\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim } }\,f(x)=b$，则

$y=b$称为函数$y=f(x)$的水平渐近线。

(2)铅直渐近线若$\underset{x\to x_{0}^{-} }{\mathop{\lim } }\,f(x)=\infty $，或$\underset{x\to x_{0}^{+} }{\mathop{\lim } }\,f(x)=\infty $，则

$x={ {x}_{0} }$称为$y=f(x)$的铅直渐近线。

(3)斜渐近线若$a=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim } }\,\frac{f(x)}{x},\quad b=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim } }\,[f(x)-ax]$，则 $y=ax+b$称为$y=f(x)$的斜渐近线。

函数凹凸性的判断

Th1: (凹凸性的判别定理）若在I上$f’‘(x)<0$（或$f’‘(x)>0$），则$f(x)$在I上是凸的（或凹的）。

Th2: (拐点的判别定理1)若在${ {x}{0} }$处$f’‘(x)=0$，（或$f’‘(x)$不存在），当$x$变动经过${ {x}{0} }$时，$f’‘(x)$变号，则$({ {x}{0} },f({ {x}{0} }))$为拐点。

Th3: (拐点的判别定理2)设$f(x)$在${ {x}{0} }$点的某邻域内有三阶导数，且$f’‘(x)=0$，$f’’‘(x)\ne 0$，则$({ {x}{0} },f({ {x}_{0} }))$为拐点。

弧微分

$dS=\sqrt{1+y{ {‘}^{2} } }dx$

曲率

曲率半径

曲线在点$M$处的曲率$k(k\ne 0)$与曲线在点$M$处的曲率半径$\rho $有如下关系：$\rho =\frac{1}{k}$。

数学分析 dfydada

数学分析

增长趋势

积分表

积分求几何量

面积

体积

弧长

曲率

旋转体侧面积

空间曲线的切线与法平面

空间曲面的切平面与法线

方向导数

泰勒公式

指数函数

三角函数

对数函数

幂函数

二元函数

级数部分和

调和级数

幂级数

二分求零点、三分求极值点

自适应辛普森求函数积分

插值法

转载

导数定义

左右导数导数的几何意义和物理意义

函数的可导性与连续性之间的关系

Th1

Th2

Th3

平面曲线的切线和法线

四则运算法则

基本导数与微分表

复合函数，反函数，隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法

常用高阶导数公式

微分中值定理，泰勒公式

Th1(费马定理)

Th2(罗尔定理)

Th3(拉格朗日中值定理)

Th4(柯西中值定理)

洛必达法则

泰勒公式

常用五种函数在${ {x}_{0} }=0$处的泰勒公式

函数单调性的判断

渐近线的求法

函数凹凸性的判断

弧微分

曲率

曲率半径